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グローバル・ポジショニング・システム (GPS: Global Positioning System) は、全地球測位システム、汎地球測位システムとも言い、地球上の現在位置を調べるための衛星測位システム。元来は軍事用のシステム。ロラン-C (Loran-C: Long Range Navigation C) システムなどの後継にあたる。

◆ 概要

アメリカ合衆国が軍事用に打ち上げた約30個のGPS衛星のうち、上空にある数個の衛星からの信号をGPS受信機で受け取り、現在位置を知るシステムである。

GPS衛星からの信号には、衛星に搭載された原子時計からの時刻のデータ、衛星の軌道情報などが含まれている。GPS受信機にも正確な時刻を知ることができる時計が搭載されているならば、GPS衛星からの電波を受信し、発信-受信の時刻差に電波の伝播速度(光の速度と同じ30万km/秒)を掛けることによって、その衛星からの距離がわかる。3個のGPS衛星からの距離がわかれば、空間上の一点は決定できる。

実際のGPS受信機に搭載されている時計はクオーツなどを利用しているため、あまり正確ではない。時刻の誤差がたとえ100万分の1秒であったとしても(この精度で時計を維持することは非常に難しい)、距離の誤差は300mにも及んでしまう。そこで、4つのGPS衛星からの電波を受信し、GPS受信機内部の時計の校正を行ないつつ測位を行なう。

GPS衛星は約20000kmの高度を一周約12時間で動く準同期衛星である(静止衛星ではない)。軌道上に打ち上げられた30個ほどの衛星コンステレーションで地球上の全域をカバーできる。中軌道なので信号の送信電力としても有利であり、ある地域からみても刻々と配置が変化するため、全地球上で誤差を平均化できる(地域によってはカバーする衛星の個数が常に少ない場合もある)。GPSは地上局を利用するロラン(LORAN)-Cと異なり、受信機の上部を遮られない限り、地形の影響を受けて受信不能に陥る事が少ない。

◆ 原理

◇ 3次元測位

GPS測位の原理は、局所慣性系で光速cが一定であることによる。

:c=2.99792458 × 10⁸ m/sec

GPS衛星と受信機がともに正確とみなせる時計をもっていれば、送信時刻と受信時刻の差の時間tに光の速度cを掛けると距離rがわかる。

:$ct\; =\; r$

衛星の位置を座標 (X, Y, Z)、受信機の位置を(x, y, z)とすると、

:$r^2\; =\; \backslash left(X-x\backslash right)^2\; +\; \backslash left(Y-y\backslash right)^2\; +\; \backslash left(Z-z\backslash right)^2$

GPS衛星の位置X, Y, Zは受信データに重畳された航法メッセージ信号を復調して得る。

受信機の位置である三つの変数、x, y, zを得るには最低三本の連立方程式を要する。このため三つ以上のGPS衛星を受信する。つまり、

・ 1個の衛星からの電波が受信でき距離が決定できたとすると、そこから距離が一定である点は球面上のどこかになる。一定の長さの糸におもりをつけて振り回すと、おもりは糸の長さを半径とする球面上のどこかにいることになる。

・ 2個の衛星からの距離が決定できた場合、二つの球面が定まる。受信機は、二つの球面の交わりである円のどこかにいることになる。

・ 3個の衛星からの距離が決定できれば、三つの球面と、その交わりである三つの円が定まる。三つの円は2点で交わり、受信機はそのうちの一点に位置する(もう一つの点は、地球上に無い)。三脚は3本の脚(長さは異なってもよい)があるため固定できるのと同様である。

3次空間の任意の3点は、ただ一つの平面を定める。図の三つの円は、この平面と三つの球面の交わりを示す。球面と球面の交わりは、この平面に垂直な三つの円をなし、一般には2点で交わる。

図は(見やすくするために)受信機も同一平面上にある場合を示す。普通は、平面から等距離の表と裏の2点が定まる。

GPS衛星には原子時計が搭載されているため、時刻は正確とみなせる(この原子時計も相対性原理による遅れ等の誤差が生じるので補正する)。一方、GPS受信機は原子時計ほど正確な時計をもたず、通常のクォーツ時計程度の精度である。そこで生じる時間の誤差をδとすると、式は

:$\backslash left(\; r\; -\; c\backslash delta\; \backslash right)^2\; =\; \backslash left(X-x\backslash right)^2\; +\; \backslash left(Y-y\backslash right)^2\; +\; \backslash left(Z-z\backslash right)^2$

四つの未知数、x, y, z、δを求めるには最低4本の連立式を要する。つまり、4つの衛星から受信することで、原理的に受信側の時計の誤差を除くことができる。

ただし、実際には誤差δが定数とは限らず、衛星によって多少異なるかもしれないし、誤差の要因は他にもある。そこで、衛星との距離 r ではなく、二つの衛星との距離の差 ? を考える。

:$\backslash Delta\; =\; c\backslash left(\; t\_1\; -\; \backslash delta\_1\; \backslash right)\; -\; c\backslash left(\; t\_2\; -\; \backslash delta\_2\; \backslash right)\; =\; c\backslash left(\; t\_1\; -\; t\_2\; \backslash right)\; -\; c\backslash left(\backslash delta\_1\; -\; \backslash delta\_2\; \backslash right)\; =\; r\_1\; -\; r\_2\; -\; c\backslash left(\backslash delta\_1\; -\; \backslash delta\_2\; \backslash right)$

δ₁ とδ₂は等しくは無くても、差は小さい。打ち消しあうことで ? の誤差は r の誤差よりはるかに小さくなることを利用する。

2衛星からの距離の差が一定な点は、2衛星を焦点とする回転双曲面をなす。上記同様、3衛星について双曲面の交わりから、受信機の位置を知ることができる(双曲線航法)。

それでも残る誤差の差分に応じて幅を持たせておく。さらに、より多くの衛星から受信することで誤差を減らすことができる。一般には、衛星iに対し、

:$\backslash left(\; c\backslash left(t\_i\; -\; \backslash delta\; \backslash right)\; \backslash right)^2\; =\; \backslash left(X\_i-x\backslash right)^2\; +\; \backslash left(Y\_i-y\backslash right)^2\; +\; \backslash left(Z\_i-z\backslash right)^2$

i本の連立を、 ?_i を用いて解くことになる。

◇ SS変調による測距

GPS衛星からの情報を変調する方式であるSS (spread spectrum) 変調方式(CDMA: code division multiple access方式などともよばれる)は、人工的に作った(真の乱数と区別が付かない)コードである擬似雑音系列に送信データを掛けて送信信号を生成する。

このため、FMやAM変調などに比べて広いバンド幅で低電力で送信でき、秘話性(擬似雑音系列がわからなければデータを復調できない)や秘匿性(白色雑音と区別がつかないため送信していること自体がわからない)、同一バンドを異なる擬似雑音系列で多重利用できることなどの特徴がある。

擬似雑音系列の開始位置の時刻を定めておけば、復調時に精度よく送出時刻を知ることができることも特徴のひとつで、GPSではこの特徴を活かして測位とデータ(衛星の位置・軌道情報やその他の情報が含まれる)の送信を同時に行なっている。

GPS衛星からのL1電波 (1.57542GHz) には公表されているC/Aコードを擬似雑音系列に用いた信号と、公表されていない擬似雑音系列であるP(Y)コードの2種類の信号が載せられている。P(Y)コードは軍事目的を想定しており、系列の生成多項式の次数が大きい(擬似雑音系列が一巡するのに長時間かかる)ため、精度は非常に高く(16cm程度)、ミサイルや誘導爆弾の誘導に用いられている。

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